Rechnerinterne Zahlenformate Oberstufe

Mit 8 Bit kann man die Zahlen 0 bis 255 speichern. Aber wie speichert ein Computer −5 oder 3,75?

Negative Zahlen: das Zweierkomplement

Merke: Zweierkomplement

So bildet man −x:

1. x binär aufschreiben (mit fester Bitanzahl),
2. alle Bits umdrehen (0 ↔ 1),
3. 1 addieren.

Das erste Bit zeigt das Vorzeichen: 0 = positiv, 1 = negativ.

Beispiel mit 8 Bit, gesucht −5:

 5          = 0000 0101
 invertieren  1111 1010
 + 1        = 1111 1011   ← das ist −5

Vorteil: Man kann ganz normal addieren. 5 + (−5) = 0000 0101 + 1111 1011 = 1 0000 0000. Der Übertrag vorne fällt weg, es bleibt 0 ✅ Mit 8 Bit lassen sich die Zahlen −128 bis 127 darstellen.

Kommazahlen mit Festkomma

Bei der Festkommadarstellung legt man fest, wie viele Bits vor und wie viele nach dem Komma stehen. Die Nachkommastellen haben die Werte ½, ¼, ⅛ …

8	4	2	1	,	0,5	0,25	0,125	0,0625
0	1	0	1	,	1	0	1	0

0101,1010 = 4 + 1 + 0,5 + 0,125 = 5,625

Probleme mit Festkomma

• Man muss sich entscheiden: viele Vorkommabits (große Zahlen) oder viele Nachkommabits (genaue Zahlen).
• Bei großen Zahlen bleiben Nachkommabits ungenutzt, bei kleinen Zahlen die Vorkommabits: Bits gehen „verloren“.
• Es lassen sich nur Vielfache von 1/2ⁿ darstellen. 0,1 zum Beispiel ist binär ein unendlicher Bruch und muss gerundet werden.

Gleitkommazahlen

Die Lösung ähnelt der wissenschaftlichen Schreibweise 6,022 · 10²³: Das Komma „gleitet“.

Merke: Gleitkommazahl

Eine Gleitkommazahl besteht aus Vorzeichen, Mantisse (den Ziffern) und Exponent (wohin das Komma rutscht): Zahl = Vorzeichen · Mantisse · 2^Exponent Nach dem Standard IEEE 754 hat eine 32-Bit-Zahl 1 Vorzeichenbit, 8 Exponentenbits und 23 Mantissenbits.

So lassen sich sehr große und sehr kleine Zahlen mit denselben Bits speichern, allerdings mit begrenzter Genauigkeit:

print(0.1 + 0.2)   # Ausgabe: 0.30000000000000004

Konsequenz für das Programmieren

Vergleiche Kommazahlen nie mit ==. Prüfe stattdessen, ob der Unterschied sehr klein ist, z. B. abs(a - b) < 0.000001.