Binärzahlen Klasse 7
Warum 0 und 1?
In einem Computer stecken Milliarden winziger Schalter (Transistoren). Jeder kennt nur zwei Zustände: Strom fließt oder kein Strom fließt. Zwei Zustände lassen sich sehr zuverlässig unterscheiden, auch wenn die Spannung etwas schwankt.
Merke
Computer arbeiten mit nur zwei Zuständen: 1 (Strom an, wahr) und 0 (Strom aus, falsch). Eine solche Stelle heißt Bit (binary digit). 8 Bit ergeben ein Byte.
Analog und digital
- Analog / kontinuierlich: Zwischen zwei Werten gibt es beliebig viele Zwischenwerte (Temperatur: 20 °C, 20,1 °C, 20,01 °C …).
- Digital / diskret: Es gibt nur klar getrennte Werte (Ampel: Rot, Gelb, Grün).
Computer speichern alles digital. Musik, Fotos und Messwerte müssen dafür erst in einzelne Zahlenwerte umgewandelt werden.
Das Stellenwertsystem
Im Dezimalsystem hat jede Stelle den zehnfachen Wert der Stelle rechts daneben:
| Tausender | Hunderter | Zehner | Einer |
|---|---|---|---|
| 10³ = 1000 | 10² = 100 | 10¹ = 10 | 10⁰ = 1 |
| 8 | 7 | 5 | 3 |
8753 = 8 · 1000 + 7 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1
Im Binärsystem (Zweiersystem) gibt es nur die Ziffern 0 und 1, und jede Stelle hat den doppelten Wert:
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2⁷ | 2⁶ | 2⁵ | 2⁴ | 2³ | 2² | 2¹ | 2⁰ |
Binär → Dezimal
Addiere die Stellenwerte, unter denen eine 1 steht.
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | Dezimal |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 128 + 16 + 4 + 1 = 149 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 59 |
Dezimal → Binär
Methode 1: Stellenwerte abziehen. Beginne beim größten Stellenwert, der noch hineinpasst. Beispiel 45: 45 − 32 = 13 → 13 − 8 = 5 → 5 − 4 = 1 → 1 − 1 = 0, also 32, 8, 4, 1 → 101101
Methode 2: Durch 2 teilen. Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben die Binärzahl.
45 : 2 = 22 Rest 1 ▲
22 : 2 = 11 Rest 0 │
11 : 2 = 5 Rest 1 │ von unten nach oben lesen:
5 : 2 = 2 Rest 1 │ 101101
2 : 2 = 1 Rest 0 │
1 : 2 = 0 Rest 1 │Gerade oder ungerade?
Eine Binärzahl ist ungerade, wenn die letzte Stelle eine 1 ist, denn nur die Einer-Stelle ist ungerade.
Wie weit zählst du mit einer Hand?
Jeder Finger ist ein Bit (ausgestreckt = 1). Mit 5 Fingern kommst du bis 11111 = 31, mit zwei Händen bis 1023.
Mit n Bits
Mit n Bits kann man 2ⁿ verschiedene Werte darstellen: mit 8 Bit also 2⁸ = 256 Werte (0 bis 255). Das begegnet dir wieder bei IP-Adressen und Farbwerten in Pixelgrafiken.
Üben
- Becimal: Binär ↔ Dezimal umrechnen
- Welche Dezimalzahlen stecken in
101,1010und11011?