Ziele

• Das Stellenwertsystem verstehen
• Dezimal → Binär mit dem Divisionsrest-Verfahren umsetzen
• Binär → Dezimal berechnen
• Die Umrechnung in Funktionen kapseln

Stellenwerte

Im Zehnersystem: 4827 = 4·1000 + 8·100 + 2·10 + 7·1. Im Zweiersystem gibt es nur die Ziffern 0 und 1, die Stellenwerte sind Zweierpotenzen: 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

1011 (binär) = 1·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1 = 11.

Binär → Dezimal

def bin_zu_dez(bits):
    wert = 0
    for ziffer in bits:          # bits ist ein String wie "1011"
        wert = wert * 2 + int(ziffer)
    return wert

print(bin_zu_dez("1011"))
print(bin_zu_dez("11111111"))

Erklärung

wert = wert * 2 + ziffer – dasselbe Muster wie „Zahl rückwärts" bei den Ziffern, nur mit Basis 2. Für "1011": 0 → 1 → 2 → 5 → 11.

Dezimal → Binär (Divisionsrest-Verfahren)

Teile die Zahl wiederholt durch 2 und notiere die Reste – von unten nach oben gelesen ergeben sie die Binärzahl.

11 : 2 = 5  Rest 1
 5 : 2 = 2  Rest 1
 2 : 2 = 1  Rest 0
 1 : 2 = 0  Rest 1   -> von unten: 1011

def dez_zu_bin(zahl):
    if zahl == 0:
        return "0"
    bits = ""
    while zahl > 0:
        bits = str(zahl % 2) + bits    # Rest vorne anfügen
        zahl = zahl // 2
    return bits

print(dez_zu_bin(11))
print(dez_zu_bin(255))

Feste Bitbreite

Oft will man eine feste Länge (z. B. 8 Bit) mit führenden Nullen:

def dez_zu_bin(zahl, breite):
    bits = ""
    for _ in range(breite):
        bits = str(zahl % 2) + bits
        zahl = zahl // 2
    return bits

print(dez_zu_bin(11, 8))   # 00001011
print(dez_zu_bin(200, 8))

Aufgaben

Löse die folgenden Aufgaben selbstständig oder mit einem Partner oder Partnerin.

Aufgabe 1: Hin und zurück

Wandle eine Zahl nach binär und wieder zurück. Prüfe für viele Zahlen, dass das Original herauskommt.

def dez_zu_bin(zahl):
    if zahl == 0:
        return "0"
    bits = ""
    while zahl > 0:
        bits = str(zahl % 2) + bits
        zahl //= 2
    return bits

def bin_zu_dez(bits):
    w = 0
    for z in bits:
        w = w * 2 + int(z)
    return w

# for n in range(0, 50): prüfe bin_zu_dez(dez_zu_bin(n)) == n

Aufgabe 2: Nötige Bitanzahl

Schreibe bits_noetig(zahl): die kleinste Bitbreite, in die zahl passt (z. B. 200 → 8, 300 → 9).

def bits_noetig(zahl):
    anzahl = 1
    grenze = 2
    # while zahl >= grenze: ...
    return anzahl

print(bits_noetig(200), bits_noetig(300))

Aufgabe 3: Ins Hexadezimalsystem

Passe das Divisionsrest-Verfahren auf Basis 16 an. Für Reste 10–15 nutze die Buchstaben A–F.

ziffern = "0123456789ABCDEF"

def dez_zu_hex(zahl):
    if zahl == 0:
        return "0"
    # bits = ziffern[zahl % 16] + bits ; zahl //= 16
    pass

print(dez_zu_hex(255))   # FF

Tipp

Statt str(zahl % 16) nimmst du ziffern[zahl % 16] – so wird aus dem Rest 12 automatisch "C".